问题详情:
已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.
(i)*:是直角三角形;
(ii)求面积的最大值.
【回答】
(1)详见解析(2)详见解析
【分析】
(1)分别求出直线AM与BM的斜率,由已知直线AM与BM的斜率之积为−,可以得到等式,化简可以求出曲线C的方程,注意直线AM与BM有斜率的条件;
(2)(i)设出直线的方程,与椭圆方程联立,求出P,Q两点的坐标,进而求出点的坐标,求出直线的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数关系求出的坐标,再求出直线的斜率,计算的值,就可以*出是直角三角形;
(ii)由(i)可知三点坐标,是直角三角形,求出的长,利用面积公式求出的面积,利用导数求出面积的最大值.
【详解】
(1)直线的斜率为,直线的斜率为,由题意可知:,所以曲线C是以坐标原点为中心,焦点在轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为;
(2)(i)设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限,所以,因此点的坐标为
直线的斜率为,可得直线方程:,与椭圆方程联立,,消去得,(*),设点,显然点的横坐标和是方程(*)的解
所以有,代入直线方程中,得
,所以点的坐标为,
直线的斜率为; ,
因为所以,因此是直角三角形;
(ii)由(i)可知:,
的坐标为,
,
,
,因为,所以当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此当时,函数有最大值,最大值为.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了利用导数求函数最大值问题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题